Optymalizacja rozmieszczenia materiałó w sprężystych płytach Bolków

Podstawowym celem optymalizacji konstrukcji inżynierskich jest wybór najlepszego z możliwych układu nośnego na podstawie ustalonych z góry kryteriów. Na przykład, w zagadnieniach statyki naturalne jest żądanie maksymalnej sztywności układu przy zadanym ciężarze lub minimalnego ciężaru przy ustalonej sztywności, jedno zaś z popularnych zagadnień dynamiki polega na wyznaczeniu maksymalnej wartości pierwszej częstości drgań własnych przy określonym z góry ciężarze konstrukcji. Zadanie optymalizacji płyt cienkich analizowane w tym opracowaniu wpisuje się w pierwszy z wymienionych nurtów badań. Opracowanie dotyczy optymalnego projektowania dźwigarów powierzchniowych ze względu na minimum podatności. Omówiono w nim metodę rozwiązania zagadnienia opartą na teorii homogenizacji dopuszczającej występowanie materiałów kompozytowych z mikrostrukturą w pewnych obszarach konstrukcji. Uzyskane wyniki mogą być teoretyczną podstawą praktycznych realizacji inżynierskich. Spis treści Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1. Zagadnienie jednowymiarowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1. Podstawowe wiadomości z zakresu analizy matematycznej . . . . . . 13 1.2. Zastępcze cechy konstytutywne materiału niejednorodnego . . . . . . 15 1.3. Skalarne zadanie optymalizacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2. Elementy teorii materiałów niejednorodnych . . . . . . . . . . . . . 23 2.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. H-zbieżność ciągów funkcji konstytutywnych . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Homogenizacja w ośrodkach periodycznych . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1. Płyto-tarcza periodyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2. Zastępcze związki konstytutywne płyto-tarczy . . . . . . . . . 30 2.4. G-domknięcie zbioru kompozytów dwuskładnikowych . . . . . . . . . 32 3. Kompozyty z mikrostrukturą sekwencyjną . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1. Konstytutywny tensor zastępczy kompozytu pierwszego rzędu . . . . 35 3.1.1. Warunki ciągłości pól tensorowych w kompozycie pierwszego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.2. Przykład teorii tarcz PSN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.3. Przykład teorii płyt Kirchhoffa . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.4. Wariacyjna metoda wyznaczania tensora zastępczego . . . . . 40 3.1.5. Homogenizacyjna metoda wyznaczania tensora zastępczego . 42 3.2. Kompozyty wyższego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.1. Kompozyty sekwencyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.2. Kompozyty klasy L+mU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.3. Kompozyty klasy L−mU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4. Płyty w płaskim stanie naprężenia (tarcze PSN) . . . . . . . . . . 50 4.1. Relaksacja zagadnienia minimum podatności . . . . . . . . . . . . . 50 4.2. Równoważne sformułowania zadania minimalizacji podatności . . . . 55 4.2.1. Sformułowanie naprężeniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2.2. Sformułowanie przemieszczeniowe . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3. Rozwiązanie zadania minimum podatności . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3.1. Szacowanie gęstości energii komplementarnej . . . . . . . . . 57 4.3.2. Związki konstytutywne tarczy optymalnej . . . . . . . . . . . 60 4.3.3. Optymalne kompozyty sekwencyjne . . . . . . . . . . . . . . 62 5. Płyty Kirchhoffa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.1. Relaksacja zagadnienia minimum podatności . . . . . . . . . . . . . 64 5.2. Rozwiązanie zadania minimum podatności . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.2.1. Szacowanie gęstości energii komplementarnej . . . . . . . . . 67 5.2.2. Związki konstytutywne płyty optymalnej . . . . . . . . . . . 69 5.2.3. Optymalne kompozyty sekwencyjne . . . . . . . . . . . . . . 70 6. Płyto-tarcze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.1. Relaksacja zagadnienia minimum podatności . . . . . . . . . . . . . 72 6.2. Rozwiązanie zadania minimum podatności . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.2.1. Szacowanie gęstości energii komplementarnej . . . . . . . . . 75 6.2.2. Związki konstytutywne płyto-tarczy . . . . . . . . . . . . . . 82 6.2.3. Aproksymacja optymalnego tensora konstytutywnego . . . . 83 7. Przykłady projektów optymalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.1. Algorytm numerycznej realizacji zagadnienia minimum . . . . . . . . 86 7.1.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.1.2. Procedura minimalizacji funkcjonału podatności . . . . . . . 88 7.1.3. Algorytm aktualizacji rozmieszczenia materiałów . . . . . . . 90 7.2. Optymalne projekty tarcz PSN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.2.1. Opis zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.2.2. Tarcza wspornikowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 7.2.3. Tarcza swobodnie podparta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.2.4. Tarcza w kształcie litery L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.3. Optymalne projekty płyt Kirchhoffa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.3.1. Opis zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.3.2. Płyta utwierdzona na obwodzie . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.3.3. Płyta swobodnie podparta na obwodzie . . . . . . . . . . . . 110 7.4. Optymalny projekt płyto-tarczy 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Załącznik A – Podstawowe wiadomości z zakresu algebry tensorów 118 Załącznik B – Uzasadnienie związku konstytutywnego optymalnej tarczy PSN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Załącznik C – Dowód quasi-afiniczności funkcji f(N, M) = hN : (T0M)i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130